మెంటల్ ఎబిలిటీ (Group-4 special )

07-08-2012: 28, 42ల కసాగు, గసాభాల మధ్య నిష్పత్తి?

క.సా.గు & గ.సా.భా. కనిష్ట సామాన్య గుణిజం (Least Common Multiple/LCM): ఇచ్చిన అన్ని సంఖ్యలకు గుణిజమై ఉండి, కనిష్టంగా ఉండే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యల క.సా.గు అంటారు. ఈ క.సా.గు ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. ఉదా: 4, 6, 8ల క.సా.గు. ఎంత? Ans: 4, 6, 8ల క.సా.గు.= 24. ఇచ్చిన మూడు సంఖ్యలకు ఉమ్మడిగా ఉన్న గుణిజాల్లో కనిష్టమైంది 24. లేదా ఇచ్చిన మూడు సంఖ్యలతో నిశ్శేషంగా భాగితమయ్యే కనిష్ట సంఖ్య 24. గరిష్ట సామాన్య భాజకం (Greatest Com-mon Divisior or Highest Common Factor): ఇచ్చిన అన్ని సంఖ్యలను నిశ్శేషంగా భాగించే గరిష్ట సంఖ్యనే ఆ సంఖ్యల గసాభా అంటారు లేదా ఇచ్చిన అన్ని సంఖ్యల భాజకాలు/కారణాంకాల్లో గరిష్టమైనదాన్ని వాటి గ.సా.భా. అంటారు. ఉదా: 18, 24ల గ.సా.భా ఎంత? Ans: 18, 24ల భాజకాలు/కారణాంకాల్లో గరిష్టమైంది = 6 లేదా 18, 24లను నిశ్శేషంగా భాగించే అతిపెద్ద సంఖ్య = 6 కాబట్టి 18, 24ల గ.సా.భా = 6 చి గసాభా కనుగొనడం: 1. ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయాలి. 2. అన్ని సంఖ్యలకు ఉమ్మడిగా ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలను గుర్తించాలి. 3. అలాంటి ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధమే గసాభా అవుతుంది. ఉదా: 18, 24 ల గసాభా ఎంత? Ans: 18 = 2×3×3, 24 = 2×2×2×3. ఈ రెండింటిలో ఉమ్మడిగా ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3. కాబట్టి వీటి గసాభా= 2×3 = 6 అవుతుంది. గసాభాను వేగంగా కనుక్కోవాలంటే: ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యకు ప్రధాన కారణాంకాలను కనుక్కోవడానికి బదులు ఏదైన ఒక సంఖ్యకు ప్రధాన కారణాంకాలను కనుగొనండి. తర్వాత ఈ ప్రధాన కారణాంకాల్లో ఏ సంఖ్యలు ఇతర అన్ని సంఖ్యలను కూడా నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయో గుర్తించాలి. అలాంటి ప్రధాన కారణాం కాల లబ్ధమే గసాభా అవుతుంది. ఉదా: 30, 45, 75ల గసాభా ఎంత? Ans: 30 = 2×3×5 2, 3, 5 ప్రధాన కారణాంకాల్లో 2 అనేది 45, 75లను భాగించదు. 3, 5లు 45, 75 రెండింటినీ నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయి. కాబట్టి గసాభా = 3×5 = 15 చి కసాగు కనుగొనడం: a) ఇచ్చిన సంఖ్యల్లో ఏదో ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయాలి. తర్వాత రెండో సంఖ్యను కూడా ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాసుకోవాలి. మొదటి సంఖ్యలో ఇంతకు మునుపే వచ్చిన ప్రధాన కారణాంకాలను కొట్టివేయాలి. b) తర్వాత మూడో సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాసుకోవాలి. మొదటి, రెండు సంఖ్యల్లో ఇంతకు మునుపే వచ్చిన ప్రధాన కారణాంకాలను కొట్టివేయాలి. c) ఈ విధంగా అన్ని సంఖ్యలూ పూర్తయ్యే వరకు చేసుకోవాలి. ఇప్పుడు అన్ని సంఖ్యలకు సంబంధించి, కొట్టివేయకుండా మిగిలిన ప్రధాన కారణాంకాలను అన్నింటినీ గుణిస్తే కసాగు వస్తుంది. ఉదా: 12, 15, 18 ల కసాగు? Ans: 12 = 2×2×3 (ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయాలి) 15=3×5(3 ఇంతకు ముందే వచ్చింది కాబట్టి ఇందులోని 3ని కొట్టివేయాలి) 18 = 2 × 3 × 3 (2, 3లు ఇంతకు ముందే వచ్చాయి కాబట్టి వాటిని కొట్టివేయాలి. 3 ఇంతకు మునుపు ఒక్కసారే వచ్చింది. కాబట్టి ఒక్క ‘3’నే కొట్టివేయాలి) ఇప్పుడు కసాగు = 2 × 2 × 3 × 5 × 3 = 180 ఉదా: 12, 15, 20, 25ల కసాగు? Ans: 12 = 2 × 2 × 3, 15 = 3 × 5, 20 = 2 × 2 × 5, 25 = 5 × 5 కసాగు = 2×2×3×5×5 = 300 1. 2/5, 3/5, 1/2 ల కసాగు? ఎ) 1/10 బి) 6/10 సి) 3/25 డి) 6 Ans: భిన్నాల కసాగు = లవాల కసాగు/హారాల గసాభా 2, 3, 1 ల కసాగు = 5, 5, 2 ల గసాభా = 6/1 = సమాధానం: డి 2. రెండు సంఖ్యల కసాగు 432, గసాభా 72. రెండింటిలో ఒక సంఖ్య 144 ఐతే రెండో సంఖ్య? ఎ) 214 బి) 215 సి) 216 డి) 218 Ans: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = కసాగు × గసాభా 144 × రెండో సంఖ్య = 432 ణ 72 రెండో సంఖ్య = సమాధానం: సి 3. రెండు సంఖ్యల గసాభా 24 ఐతే వీటిలో ఏది వాటి కసాగు కావచ్చు? ఎ) 12 బి) 18 సి) 36 డి) 48 Ans: కసాగు ఎప్పుడు గసాభాతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. కేవలం 48 మాత్రమే (ఇచ్చిన వాటిలో) 24తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. సమాధానం: డి 4. 28, 42 అనే రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభాల మధ్య నిష్పత్తి? ఎ) 2 : 3 బి) 6 : 1 సి) 7 : 2 డి) 3 : 2 Ans: 28 = 2×2×7, 42 = 2×3×7 గసాభా = 2×7, కసాగు = 2×2×3×7 అడిగిన నిష్పత్తి = (2×2×3×7) : (2×7) = (2×3) :1= 6 : 1 షార్ట్‌కట్ మెథడ్: ఏ సంఖ్యలకైనా కసాగు ఎప్పుడూ గసాభాతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. కాబట్టి ఏ సంఖ్యలకైనా కసాగు, గసాభాల మధ్య నిష్పత్తి సహజ సంఖ్యగానే ఉంటుంది. అంటే లేదా :1 గానే ఉంటుంది ( ఏదైన ఒక సహజ సంఖ్య) ఙ సమాధానం: బి మరిన్ని ముఖ్యాంశాలు ఇచ్చిన సంఖ్యల కసాగు ఎప్పుడూ వాటి గసాభాకు గుణిజంగా ఉంటుంది. లేదా కసాగును గసాభా ఎప్పుడూ నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. ఉదా: 18, 24 ల క.సా.గు = 72 18, 24 ల గ.సా.భా = 6. ఇప్పుడు 72ను 6 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. గసాభా ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యనూ నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. అలాగే ఇచ్చిన ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదాన్నైనా నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. ఇచ్చిన సంఖ్యలు తీసుకున్నా, వాటి మధ్య భేదం కూడా 7తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. 63–42=21, ఇది 7తో భాగితమవుతుంది. 70–42 = 28. ఇది కూడా 7తో భాగితమవుతుంది. ఒకవేళ కేవలం రెండు సంఖ్యలే ఇస్తే ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = వాటి కసాగు, గసాభాల లబ్ధం అవుతుంది. అంటే రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభాల్లో ఒకటి తెలిస్తే, రెండోదాన్ని కనుక్కోవచ్చు. ఉదా: 18, 24 ల కసాగు = 72, గసాభా = 6. 18×24 = 432, అలాగే కసాగు ణ గసాభా = 72×6 = 432 సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా = 1, కసాగు = వాటి లబ్ధం. ఉదా: 16, 21 అనేవి సాపేక్ష ప్రధానాలు, ఎందుకంటే వాటికి ఉమ్మడి కారణాంకాలు (1 మినహా) లేవు. కాబట్టి వాటి గసాభా = 1, వాటి కసాగు =16×21= 336 ఇచ్చిన సంఖ్యలు భిన్నాలైనప్పుడు... వాటి కసాగు= లవాల కసాగు/హారాల గసాభా, వాటి గసాభా = లవాల గసాభా/ హారాల కసాగు